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東南西北英文簡寫,加

互联网 2021-04-22 04:25:44
用蘋果嚟表示3+2=5{\displaystyle 3+2=5}

(Addition)係數學運算一種,一般習慣會用「+{\displaystyle +}」呢個符號嚟表達,呢個符號又叫做「加號」。加法係四個基本算術運算嘅其中一個(其餘係減、乘同除)。

加法係將兩個量加埋做一個量嚟表示嘅運算。意指將兩組嘅量合併做一組嘅意思。假設左面有3{\displaystyle 3}個蘋果,右面有2{\displaystyle 2}個蘋果,將呢兩個量合併一齊,就總共有5{\displaystyle 5}個蘋果。利用數學式嚟表達,就係3+2=5{\displaystyle 3+2=5}。(講法係,三加二等於五。)而兩個數加埋得到嗰個數就叫做「和」(Sum)。

加法除咗係日常生活數下物件之外,喺數學上,可以處理整數、有理數、實數、虛數、向量、矩陣等數學物件。而日常生活嘅加法,係可以應到任何算術,例如分數加法、有向數等,但係去高等數學加法未必係日常加法。

如果利用高等數學嘅角度嚟睇,加法呢個處理有幾個重要嘅代數性質,例如係可溝通性(Commutative),即係話處理加法嘅次序唔影響結果;結合性(Associative),即係話處理多幾個數字,個次序都唔影響結果。又例如話,當你係到數緊物品嘅時候,其實你係進行緊加法,不停咁喺度加1{\displaystyle 1}。加法嘅相反係減法。如果不停咁加n{\displaystyle n}咁多次,咁就係一個乘法。

加法係最簡單嘅數字運算,基本上加法係好多有智慧嘅生物都可以處理,例如世界上最簡單嘅加法1+1{\displaystyle 1+1},係簡單到連一個五個月大嘅小朋友或者非人類嘅生物都會識做。喺小學階段,基本上人人都會由十進制嘅加法學起,再去學解決其他進階嘅難題。而電腦科學家就研究點樣令到電腦做到加法。

目錄1 基本加法1.1 例子1.2 偷懶情況1.3 項1.4 加嘅由來2 加法性質2.1 可溝通性(又叫交換律)2.2 結合性2.3 恆等元(又叫單位元素)2.4 單位3 學習加法3.1 天生就識3.2 幼兒學習3.2.1 加法表3.3 十進制加法3.3.1 進位3.3.2 小數點加法3.3.3 指數記數法3.4 其他進制加法4 數字加法4.1 自然數4.2 整數4.3 有理數(分數)4.4 虛數5 高等數學應用5.1 抽象代數入面嘅加法5.1.1 向量加法5.1.2 矩陣加法5.1.3 同餘加法5.1.4 日常加法5.2 將集合併5.3 伸展距離6 睇埋基本加法[編輯]加號(Plus Sign)

基本加法,又叫做日常加法(Usual Addition),係日常用到嘅加法。一般應用係數物件同算術。加法一般習慣用「+{\displaystyle +}」,即係「加號(Plus Sign)」嚟表示。呢個符號一般會放喺兩個數字之間,用作將呢兩樣嘢加埋嘅意思,呢個表達方法叫做中綴表示法。例如:1+1=2{\displaystyle 1+1=2}。例外有前綴表示法同後綴表示法。而「+{\displaystyle +}」,等於(Equal Sign)就係將個結果表示出嚟。而個結果一般就會叫做「和」。

例子[編輯]1+1=2{\displaystyle 1+1=2}(一加一等於二)2+2=4{\displaystyle 2+2=4}(二加二等於四)3+3=6{\displaystyle 3+3=6}(三加三等於六)1+2+3+4=10{\displaystyle 1+2+3+4=10}(結合性)2+2+2+2+2=10{\displaystyle 2+2+2+2+2=10}(乘法)

好多時,熟習咗加法同乘法之後,有好多人會將3+3=6{\displaystyle 3+3=6}寫成3+3=9{\displaystyle 3+3=9},咁樣就計錯數。

偷懶情況[編輯]

有好多人慣咗加法之後,就唔會寫加號嚟表示加法。

直式加法:5+12=17{\displaystyle 5+12=17}

例如做直式加法嘅時候,好多人都懶得去寫個加號去表示佢做緊加法。好似右邊幅圖咁,將5{\displaystyle 5}同12{\displaystyle 12}並排好加好之後得出17{\displaystyle 17}。明顯,係做加法,但係都無見過加號嘅出現。

喺分數入面,帶分數就係一個偷懶嘅例子,例如:123{\displaystyle 1{\frac {2}{3}}},就係指1{\displaystyle 1}加23{\displaystyle {\frac {2}{3}}}。有人話呢個表達方式好容易同乘法混淆。

喺高等數學入面,連續加埋同一舊嘢寫出嚟都幾麻煩,所以就有咗級數呢樣嘢。級數係可以表達一個有套路有規律嘅加法。例如:

∑i=1ni=1+2+3+⋯+n=n(n+1)2{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}i=1+2+3+\cdots +n={\frac {n(n+1)}{2}}}(呢個又叫三角形數)。日常生活都有好多偷懶嘅例子,例如帳單、月結單。上面都係無加號,但係大家都知道係做緊加法。項[編輯]

將要處理加法嘅嘢就叫做項(Term),例如1+1=2{\displaystyle 1+1=2},1{\displaystyle 1}就係項。喺級數入面i{\displaystyle i}就係項。英文項有幾個叫法「Terms」、「Addends」、「Summands」。有人叫第一個項做「Augend」。喺文藝復興時期,好多人都唔覺得第一個項係項。而到今時今日,都無咩人去分第一個項定係第二個項,總知大家都係項,冇再分得咁細。

加嘅由來[編輯]

「加」,根據粵語審音配詞字庫,讀「gaa1」或者「gaa3」。說文解字解釋,「加:語相增加也。從力從口。古牙切」原指講嘢假,加鹽加醋。之後演變到有增加嘅意思。喺兩漢之間,周髀算經已經有講解四則運算。

而英文嘅加法用字基本上都嚟自拉丁文。英文「Addition」係源自拉丁文動詞「Addere」,呢個字係「加去」同「比」嘅合字。而「Sum」就係源自「Summare」,係一個名詞指嘅係「最高,最勁」,因為兩個數相加,係一定大過之前嗰兩個數,但係呢個概念引用到古希臘同古羅馬人,但係到咗現代加法係可以加返轉頭,個數愈加愈細。

加號「+{\displaystyle +}」係拉丁文「et」嘅簡寫,意思係「add」。佢早喺1489年,已經出現喺當時嘅有關數學嘅文章入面。

加法性質[編輯]可溝通性(又叫交換律)[編輯]利用圖案表示4+2=2+4{\displaystyle 4+2=2+4}

加法係可溝通嘅,即係話進行加法嘅次序唔影響加法嘅結果。利用數學式表示就係:

a+b=b+a{\displaystyle a+b=b+a}咁a{\displaystyle a}同b{\displaystyle b}都係一個數字。

呢個法則又叫做「加法嘅溝通法」。但係同時,有好多其他嘅二元運算唔係可溝通嘅,例如:減法,除法,矩陣乘法。

結合性[編輯]用圖片表示2+(1+3)=(2+1)+3{\displaystyle 2+(1+3)=(2+1)+3}

加法係可以結合嘅。當你要加兩個到三個,或者有限咁多個,n{\displaystyle n}咁多個數字嘅時候,做加法嘅次序唔會影響結果。如果有三個數字a{\displaystyle a},b{\displaystyle b}同c{\displaystyle c}要加嘅時候,用數學式嘅表達係(a+b)+c{\displaystyle (a+b)+c},先做a+b{\displaystyle a+b},得出結果後再做+c{\displaystyle +c}。但係呢個出嚟嘅結果係會同先做b+c{\displaystyle b+c},再做a+{\displaystyle a+}係一樣。得出結論係:

(a+b)+c=a+(b+c){\displaystyle (a+b)+c=a+(b+c)}舉個實例,2+(1+3)=2+4=6=3+3=(2+1)+3{\displaystyle 2+(1+3)=2+4=6=3+3=(2+1)+3}

但係當你做四則運算嘅時候,加法嘅次序就會有所影響。加法多數都係最後會做嘅處理。

恆等元(又叫單位元素)[編輯]利用圖案表達5+0=5{\displaystyle 5+0=5}

所謂嘅恆等元,就係一粒嘢,你令佢嚟同另一粒嘢做加法,出嚟個結果係不變。

如果根據呢個講法,好明顯0{\displaystyle 0}就係日常加法嘅恆等元。因為咩嘢加零,個數值都係唔變。利用數學式表示就係:

a+0=0+a=a{\displaystyle a+0=0+a=a}而a{\displaystyle a}就係任何數字。例子:5+0=5{\displaystyle 5+0=5},就好似右手面張圖咁,一個袋入面有5{\displaystyle 5}粒嘢,另一個袋入面無嘢,將兩個個袋入面嘅嘢加埋一齊,都係得5{\displaystyle 5}粒嘢。

呢個性質早喺公元前628年,由婆羅摩笈多發明。當時佢喺著作Brahmasphutasiddhanta呢本書入面將以上嘅性質用正數、負數同零用自己文字表達一次,而唔係用現代嘅代數表達方式講出嚟。去到830年左右,另一個印度數學家馬哈費亞(Mahavira)將個概念再寫多一次,佢話:「零加任何嘢都係加佢嗰嚿嘢。」換句話講即係0+a=a{\displaystyle 0+a=a}。到咗12世紀,印度數學家婆什迦羅二世又話:「如果用加法嚟睇,加零,減零,無論係正數加,負數加,都係一樣。」換句話講即係a+0=a{\displaystyle a+0=a}

單位[編輯]

如果做日常加法,單位唔同係唔可以加埋一齊。舉個例子,3{\displaystyle 3}蚊同3{\displaystyle 3}毫大家都係錢,但係就唔可以將佢加埋做6{\displaystyle 6}蚊,6{\displaystyle 6}毫或者係6{\displaystyle 6}蚊毫。但係就可以加埋之後寫成3.3{\displaystyle 3.3}(單位:元,讀三個三)。換一個例子:6{\displaystyle 6}個橙加8{\displaystyle 8}個橙就會得出14{\displaystyle 14}個橙;但係8{\displaystyle 8}個橙加9{\displaystyle 9}個蘋果就一定要寫成17{\displaystyle 17}個生果。

同樣,進行實質物品或者距離上嘅加法,物品或者個數字嘅單位係必須要一致。例如:1{\displaystyle 1}厘米同1{\displaystyle 1}厘米可以相加,但係同1{\displaystyle 1}毫米就唔可以。如果想將佢哋兩個相加,就必須要將兩個數嘅單位換成一樣,例如將1{\displaystyle 1}厘米換成10{\displaystyle 10}毫米,或者將1{\displaystyle 1}毫米換成0.1{\displaystyle 0.1}厘米。詳細可以參考物理嘅量度分析(Dimensional Analysis)。

學習加法[編輯]天生就識[編輯]

喺1992年,美國心理學家Karen Wynn做咗一個基礎實驗,佢將一班BB仔帶到去螢幕前面,而呢班BB仔就用螢幕顯示嘅米奇老鼠公仔去進行加法實驗,而呢個實驗證明咗一個五個月大嘅BB仔個腦入面係期望住1+1{\displaystyle 1+1}係會等於2{\displaystyle 2}。最令人覺得出奇嘅係,喺呢個實驗入面,科學家係將個情況整到好似1+1{\displaystyle 1+1}係會等於1{\displaystyle 1}或者3{\displaystyle 3}

另一個實驗,就用咗一班大啲嘅BB仔,約莫18到35個月大,佢哋用係箱抽乒乓球呢個實驗發現,呢班BB仔入面最細嗰個,可以做到簡單數字上嘅加法,而最大嗰班就可以做到5{\displaystyle 5}以下嘅加法。

唔係人類嘅生物都會識得做加法,最出名嘅例子就有靈長類動物。喺1995年就有一個模仿1992年嗰次實驗嘅實驗,佢哋用茄子代替公仔,有兩類猿可以做到同人類BB仔相似程度嘅加法。有人教咗一隻黑猩猩阿拉伯數目字嘅0{\displaystyle 0}到4{\displaystyle 4},之後呢隻黑猩猩唔使人教,就自己識做兩個數字嘅加法。最近,有發現亞洲象都識做簡單加法。

幼兒學習[編輯]

基本上,BB仔多數都係識數嘢先。一般嚟講,佢哋被要求將兩樣或者三樣嘢合埋一齊嗰時,班BB會趨向用睇得到嘅方法或者物質上嘅方法去處理呢個問題,例如係話數手指,畫畫咁。當佢地開始適應用數數嗰時,佢哋會直接由嗰一個數開始,再用手指數,例如:直接就三數起:「三、四、五」。而呢個都係最自然嘅學習加法嘅技巧,因為呢個方法係好容易由同伴或者老師嗰度學返嚟。當啲BB仔熟習咗用加法之後,佢哋可以從記憶中嘅結果入面抽出嚟,再運用個結果做加法。例如:佢地熟悉左6+6=12{\displaystyle 6+6=12},之後當佢哋要做6+7{\displaystyle 6+7}嗰時,佢哋會知到用6+6=12{\displaystyle 6+6=12}再加1{\displaystyle 1}上去就得出個答案13{\displaystyle 13}。呢類型嘅技巧運用,好多小學生都已經係根深柢固,好自然就做到加法。

唔同國家都會教BB仔加法,但係教加法嘅年紀都唔同,有啲國家幼稚園就已經教加法,有啲就係小學教。但係基本上,全世界嘅小朋友讀到小學一年級已經識得做加法。

加法表[編輯]

BB仔一般都要用到加法表嚟學加法,利用加法表可以令佢哋容易啲記到1{\displaystyle 1}到10{\displaystyle 10}嘅加法。

1{\displaystyle 1}嘅加法

1+0=1{\displaystyle 1+0=1}

1+1=2{\displaystyle 1+1=2}

1+2=3{\displaystyle 1+2=3}

1+3=4{\displaystyle 1+3=4}

1+4=5{\displaystyle 1+4=5}

1+5=6{\displaystyle 1+5=6}

1+6=7{\displaystyle 1+6=7}

1+7=8{\displaystyle 1+7=8}

1+8=9{\displaystyle 1+8=9}

1+9=10{\displaystyle 1+9=10}

1+10=11{\displaystyle 1+10=11}

2{\displaystyle 2}嘅加法

2+0=2{\displaystyle 2+0=2}

2+1=3{\displaystyle 2+1=3}

2+2=4{\displaystyle 2+2=4}

2+3=5{\displaystyle 2+3=5}

2+4=6{\displaystyle 2+4=6}

2+5=7{\displaystyle 2+5=7}

2+6=8{\displaystyle 2+6=8}

2+7=9{\displaystyle 2+7=9}

2+8=10{\displaystyle 2+8=10}

2+9=11{\displaystyle 2+9=11}

2+10=12{\displaystyle 2+10=12}

3{\displaystyle 3}嘅加法

3+0=3{\displaystyle 3+0=3}

3+1=4{\displaystyle 3+1=4}

3+2=5{\displaystyle 3+2=5}

3+3=6{\displaystyle 3+3=6}

3+4=7{\displaystyle 3+4=7}

3+5=8{\displaystyle 3+5=8}

3+6=9{\displaystyle 3+6=9}

3+7=10{\displaystyle 3+7=10}

3+8=11{\displaystyle 3+8=11}

3+9=12{\displaystyle 3+9=12}

3+10=13{\displaystyle 3+10=13}

4{\displaystyle 4}嘅加法

4+0=4{\displaystyle 4+0=4}

4+1=5{\displaystyle 4+1=5}

4+2=6{\displaystyle 4+2=6}

4+3=7{\displaystyle 4+3=7}

4+4=8{\displaystyle 4+4=8}

4+5=9{\displaystyle 4+5=9}

4+6=10{\displaystyle 4+6=10}

4+7=11{\displaystyle 4+7=11}

4+8=12{\displaystyle 4+8=12}

4+9=13{\displaystyle 4+9=13}

4+10=14{\displaystyle 4+10=14}

5{\displaystyle 5}嘅加法

5+0=5{\displaystyle 5+0=5}

5+1=6{\displaystyle 5+1=6}

5+2=7{\displaystyle 5+2=7}

5+3=8{\displaystyle 5+3=8}

5+4=9{\displaystyle 5+4=9}

5+5=10{\displaystyle 5+5=10}

5+6=11{\displaystyle 5+6=11}

5+7=12{\displaystyle 5+7=12}

5+8=13{\displaystyle 5+8=13}

5+9=14{\displaystyle 5+9=14}

5+10=15{\displaystyle 5+10=15}

6{\displaystyle 6}嘅加法

6+0=6{\displaystyle 6+0=6}

6+1=7{\displaystyle 6+1=7}

6+2=8{\displaystyle 6+2=8}

6+3=9{\displaystyle 6+3=9}

6+4=10{\displaystyle 6+4=10}

6+5=11{\displaystyle 6+5=11}

6+6=12{\displaystyle 6+6=12}

6+7=13{\displaystyle 6+7=13}

6+8=14{\displaystyle 6+8=14}

6+9=15{\displaystyle 6+9=15}

6+10=16{\displaystyle 6+10=16}

7{\displaystyle 7}嘅加法

7+0=7{\displaystyle 7+0=7}

7+1=8{\displaystyle 7+1=8}

7+2=9{\displaystyle 7+2=9}

7+3=10{\displaystyle 7+3=10}

7+4=11{\displaystyle 7+4=11}

7+5=12{\displaystyle 7+5=12}

7+6=13{\displaystyle 7+6=13}

7+7=14{\displaystyle 7+7=14}

7+8=15{\displaystyle 7+8=15}

7+9=16{\displaystyle 7+9=16}

7+10=17{\displaystyle 7+10=17}

8{\displaystyle 8}嘅加法

8+0=8{\displaystyle 8+0=8}

8+1=9{\displaystyle 8+1=9}

8+2=10{\displaystyle 8+2=10}

8+3=11{\displaystyle 8+3=11}

8+4=12{\displaystyle 8+4=12}

8+5=13{\displaystyle 8+5=13}

8+6=14{\displaystyle 8+6=14}

8+7=15{\displaystyle 8+7=15}

8+8=16{\displaystyle 8+8=16}

8+9=17{\displaystyle 8+9=17}

8+10=18{\displaystyle 8+10=18}

9{\displaystyle 9}嘅加法

9+0=9{\displaystyle 9+0=9}

9+1=10{\displaystyle 9+1=10}

9+2=11{\displaystyle 9+2=11}

9+3=12{\displaystyle 9+3=12}

9+4=13{\displaystyle 9+4=13}

9+5=14{\displaystyle 9+5=14}

9+6=15{\displaystyle 9+6=15}

9+7=16{\displaystyle 9+7=16}

9+8=17{\displaystyle 9+8=17}

9+9=18{\displaystyle 9+9=18}

9+10=19{\displaystyle 9+10=19}

10{\displaystyle 10}嘅加法

10+0=10{\displaystyle 10+0=10}

10+1=11{\displaystyle 10+1=11}

10+2=12{\displaystyle 10+2=12}

10+3=13{\displaystyle 10+3=13}

10+4=14{\displaystyle 10+4=14}

10+5=15{\displaystyle 10+5=15}

10+6=16{\displaystyle 10+6=16}

10+7=17{\displaystyle 10+7=17}

10+8=18{\displaystyle 10+8=18}

10+9=19{\displaystyle 10+9=19}

10+10=20{\displaystyle 10+10=20}

十進制加法[編輯]

第一步學十進制加法嘅係先學十位數加法,再到百位數(三位數)。當人習慣呢套加法嗰時,佢哋就會悟出下面呢套加法規則,令到自己更快做到加法:

可溝通性:a+b=b+a{\displaystyle a+b=b+a},咁如果利用加法表學加法,原本要背100{\displaystyle 100}條加法式,而家就只需要背55{\displaystyle 55}條。淨係加1{\displaystyle 1}同2{\displaystyle 2}:淨係加1{\displaystyle 1}或者2{\displaystyle 2}對人嚟講係好自然,基本上唔使背都會識得做。零:因為10{\displaystyle 10}係恆等元,加咗佢即係無加過嘢,對好多人嚟講都係廢。乘二:一個數自己相加,變相係乘二,如果學習埋乘法,多數人會直接跳用乘法,而唔用加法。好似乘二:如果兩個數係好近,例如:6+7{\displaystyle 6+7}同6+5{\displaystyle 6+5},一般會將個數乘二再減返個差,睇返個例子,就會將6×2+1=12+1=13{\displaystyle 6\times 2+1=12+1=13},6×2−1=12−1=11{\displaystyle 6\times 2-1=12-1=11}。利用10{\displaystyle 10}:例如:6+7{\displaystyle 6+7},就可以將佢寫成10+3{\displaystyle 10+3},咁就會計快啲。

當人愈大,處理加法嘅速度會係相應加快。

進位[編輯]

基本多位數嘅加法,會利用到直式嚟幫助。直式係會將兩個要相加嘅數,根據佢哋個位排好,由右到左,最右面係個位數,之後到十位數,再到百位數,如似類推。之後,逄十進一。個一就會帶落去下一個位。舉個例, 27+59{\displaystyle 27+59}就可以表達出進位呢個概念。

¹27+ 59————86

如果睇7+9=16{\displaystyle 7+9=16}呢個例子,個1{\displaystyle 1}就係進咗位後嘅數。除咗呢個基本加法方法之外,重有好多其他方法去做加法。例如:直接由左面加起,再估計出兩個數字相加大約係幾多。

小數點加法[編輯]

小數點加法基本上同上面所介紹嘅加法係差唔多。利用直式,將兩個數字打直並排,但係今次注意係兩個數字要以小數點做中心對位。如果有需要可以加一啲廢零去幫助做加法。之後就可以跟住上面方法加法。

舉個例,將45.1+4.34{\displaystyle 45.1+4.34}

4 5 . 1 0+0 4 . 3 4———————————— 4 9 . 4 4指數記數法[編輯]內文:指數記數法

利用指數記數法,又叫科學記數法,數字會寫到為最簡約嘅方式,將數字分開一半,一半係有效數字,另一半係以10{\displaystyle 10}為基數嘅次方表達。如果呢個次方表達係一樣嘅話兩個數就可以就咁加或者減。

例子:2.4×105{\displaystyle 2.4\times 10^{5}}同6.89×105{\displaystyle 6.89\times 10^{5}}就可以直接相加,變成9.29×105{\displaystyle 9.29\times 10^{5}}

但係2.4×105{\displaystyle 2.4\times 10^{5}}同68.9×104{\displaystyle 68.9\times 10^{4}}就唔可以直接相加,要將68.9×104{\displaystyle 68.9\times 10^{4}}寫成6.89×105{\displaystyle 6.89\times 10^{5}},先可以相加。

其他進制加法[編輯]

除咗十進制之外,重有二進制,八進制同埋十六進制。如果用呢幾個進制,都可以進行到加法,而且步驟同上面嘅差唔多,只不過係由逢十進一變逢二進一或逢八、逢十六。

如果學電腦科學嘅話,轉換二進制係一定要識,以下呢個表可以幫助轉十進制去二進制:

1286432168420

以上呢個表都可以幫助做二進制嘅加法。

二進制就逢二進一。

舉個例:

12+12=102{\displaystyle 1_{2}+1_{2}=10_{2}}

1010102+1101012=10111112{\displaystyle 101010_{2}+110101_{2}=1011111_{2}}

數字加法[編輯]

用加法之前,一定要證明呢個加法係完美定義(Well-define)好。因為喺數學嘅世界,加法未必一定係日常加法。加法最早係應用喺自然數(N{\displaystyle \mathbb {N} })。喺集合論入面,加法係將個集整大嘅一個處理,例如用自然數整整數(Z{\displaystyle \mathbb {Z} })、有理數(Q{\displaystyle \mathbb {Q} })同實數(R{\displaystyle \mathbb {R} })。喺數學教育同埋數學史入面,正分數係早出現過負數。

自然數[編輯]內文:自然數

加法最早係應用喺自然數入面。有兩個定義自然數加法嘅方法。第一個係利用集嘅基數(基數即係個集入面有幾多嚿嘢)嚟做定義。另一個,比較接近日常加法。

如果自然數係用嚟做一個有限集嘅基數,即係話集A{\displaystyle A}嘅基數係1{\displaystyle 1},B{\displaystyle B}嘅基數係2{\displaystyle 2}。佢哋兩個嘅加法可以咁定義:

「設N(S){\displaystyle N(S)}做集S{\displaystyle S}嘅基數。咁兩個唔相交集A,B{\displaystyle A,B},N(A)=a,N(B)=b{\displaystyle N(A)=a,N(B)=b},嘅聯合a+b{\displaystyle a+b},就係N(A∪B){\displaystyle N(A\cup B)}。」

A∪B{\displaystyle A\cup B}就係兩個集A{\displaystyle A}同B{\displaystyle B}嘅聯合。另一個版本嘅定義,可以接受呢兩個集係有相交,咁個定義嘅處理手法就會先將兩個集相交嘅嘢整走先,再將兩個集聯合,咁就可以避免將相交嘅嘢重覆咁計。

整數[編輯]Grothendieck嘅整數加法表示。內文:整數

最簡單嘅整數概念就係絕對值或者係自然數,再加多一個正負號(正號或者負號)。整數零係一個特別嘅存在,佢又唔係正數又唔係負數。係整數入面嘅加法就按照下面嘅定義:

「對應任何整數n{\displaystyle n},|n|{\displaystyle |n|}係佢嘅絕對值。同時,a{\displaystyle a}同b{\displaystyle b}係整數。如果a{\displaystyle a}或者b{\displaystyle b}係零,咁就當佢係恆等元(Identity)。如果a{\displaystyle a}同b{\displaystyle b}都係正數,咁定義a+b=|a|+|b|{\displaystyle a+b=|a|+|b|}。如果a{\displaystyle a}同b{\displaystyle b}都係負數,咁a+b=−(|a|+|b|){\displaystyle a+b=-(|a|+|b|)}。如果a{\displaystyle a}同b{\displaystyle b}係唔同正負,咁就要定義a+b{\displaystyle a+b}做|a|{\displaystyle |a|}同|b|{\displaystyle |b|}之差,之後邊一個絕對值大啲,咁佢嗰個正負號,就係答案嘅正負號。」

舉個例子,如果有−2{\displaystyle -2}同5{\displaystyle 5},咁−2+5{\displaystyle -2+5}就係|5|−|−2|=|5|−|2|=3{\displaystyle |5|-|-2|=|5|-|2|=3},因為|5|>|−2|{\displaystyle |5|>|-2|},所以個答案係3{\displaystyle 3}。如果有−10{\displaystyle -10}同5{\displaystyle 5},咁−10+5{\displaystyle -10+5}就係|−10|−|5|=10−5=5{\displaystyle |-10|-|5|=10-5=5},因為|−10|>|5|{\displaystyle |-10|>|5|},所以個答案係−5{\displaystyle -5}

用呢個方法定義加法對一啲簡單嘅方法係可以,但一去到複雜少少嘅問題,呢個定義有多可能性要考慮,就會令到成件事變得更加複雜。

比較常用或者方便嘅定義方法,就係利用高分迪群(Grothendieck Group)呢個結構去定義加法。呢個常用嘅定義,係用一個好基本法則,就係每一個整數都可以寫成兩個自然數之差,呢個寫法唔係獨有,即係−1=2−3{\displaystyle -1=2-3}同時−1=1−2{\displaystyle -1=1-2}。因此,整數可以定義為兩個自然數之差,加法又可以兼容埋減法:

「有兩個整數a−b{\displaystyle a-b}同c−d{\displaystyle c-d},a,b,c,d{\displaystyle a,b,c,d}都係自然數。定義(a−b)+(c−d)=(a+c)−(b+d){\displaystyle (a-b)+(c-d)=(a+c)-(b+d)}

有理數(分數)[編輯]內文:有理數

有理數,即係分數。兩個分數需要分母一樣先可以相加,如果分母唔相同,咁就唔可以直接相加。

例子:12{\displaystyle {\frac {1}{2}}}同13{\displaystyle {\frac {1}{3}}}分母唔一樣,所以唔可以直接相加。

例子:56{\displaystyle {\frac {5}{6}}}同16{\displaystyle {\frac {1}{6}}}分母一樣,可以直接相加,得出66=1{\displaystyle {\frac {6}{6}}=1}

如果兩個分數分母唔相同,咁就需要通分母。通分母嘅意思係將兩個分數嘅分母變成一樣。因為將分子同分母同樣乘大同一個數字,佢嘅數值係冇變,一般通分母會利用最小公倍數去處理。以79{\displaystyle {\frac {7}{9}}}同12{\displaystyle {\frac {1}{2}}}做例,9{\displaystyle 9}同2{\displaystyle 2}嘅最小公倍數係18{\displaystyle 18},所以;

79+12=7×29×2+1×92×9=1418+918=14+918=2318{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {7}{9}}+{\frac {1}{2}}&={\frac {7\times 2}{9\times 2}}+{\frac {1\times 9}{2\times 9}}\\&={\frac {14}{18}}+{\frac {9}{18}}\\&={\frac {14+9}{18}}\\&={\frac {23}{18}}\end{aligned}}}

將以下情況用代數表示,可以得出有理數加法嘅定義:

「ab+cd=ad+bcbd{\displaystyle {\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}={\frac {ad+bc}{bd}}}

舉個例子:35+23=3×3+5×23×5=9+1015=1915{\displaystyle {\frac {3}{5}}+{\frac {2}{3}}={\frac {3\times 3+5\times 2}{3\times 5}}={\frac {9+10}{15}}={\frac {19}{15}}}

虛數[編輯]將虛數當做向量咁整。內文:虛數

虛數嘅加法係將實嘅部分相加,虛嘅部分相加,所以可以咁樣定義:

「(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i{\displaystyle (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i}

其實虛數可以利用向量嚟做一個幾何上表達。將實部分當做橫軸(x-axis),虛部分當做縱軸(y-axis),就好似右面幅圖咁表達出任何兩個虛數相加。而喺幾何上面,右面呢個係一個平行四邊形。如果將藍、紅、紫嘅箭嘴嘅頭叫做A,B,C{\displaystyle A,B,C},個尾叫做O{\displaystyle O},咁△OAB{\displaystyle \bigtriangleup OAB}係全等於△CBA{\displaystyle \bigtriangleup CBA}。呢個都係其中一個虛數平面上面嘅性質。

高等數學應用[編輯]

有好多二元運算都可以當做實數加法嘅伸展,或者係類似實數嘅加法。喺抽象代數入面,代數場就係呢啲所謂嘅加法嘅伸展,同時佢哋都會喺集合論同埋表示論出現。

抽象代數入面嘅加法[編輯]向量加法[編輯]內文:向量

喺線性代數入面,一個向量空間係一種代數結構。喺呢個空間入面,兩支唔同嘅向量同埋有啲數字可以互相加埋一齊或者乘埋一齊嘅。同向量加法、乘法好似嘅重有實數坐禁加法,一個坐禁(x,y){\displaystyle (x,y)}就係一支喺(x,y){\displaystyle (x,y)}平面上面嘅向量,同時佢係呢個平面嘅中心。兩支向量嘅加可以咁樣定義:

「(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d){\displaystyle (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)}

矩陣加法[編輯]內文:矩陣

兩個矩陣要做到加法唯一嘅條件係需要有同一個基數(Order/Dimension)。兩個m×n{\displaystyle m\times n}嘅矩陣A{\displaystyle A}同B{\displaystyle B}相加之後,會用A+B{\displaystyle A+B}表示,都係一個m×n{\displaystyle m\times n}矩陣:

「A+B=[a11a12⋯a1na21a22⋯a2n⋮⋮⋱⋮am1am2⋯amn]+[b11b12⋯b1nb21b22⋯b2n⋮⋮⋱⋮bm1bm2⋯bmn]=[a11+b11a12+b12⋯a1n+b1na21+b21a22+b22⋯a2n+b2n⋮⋮⋱⋮am1+bm2am2+bm2⋯amn+bmn]{\displaystyle A+B={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\\\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}&\cdots &b_{1n}\\b_{21}&b_{22}&\cdots &b_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\b_{m1}&b_{m2}&\cdots &b_{mn}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{11}+b_{11}&a_{12}+b_{12}&\cdots &a_{1n}+b_{1n}\\a_{21}+b_{21}&a_{22}+b_{22}&\cdots &a_{2n}+b_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}+b_{m2}&a_{m2}+b_{m2}&\cdots &a_{mn}+b_{mn}\\\end{bmatrix}}}

舉個例:

[1234]+[2345]=[3579]{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}2&3\\4&5\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}3&5\\7&9\end{bmatrix}}}

同餘加法[編輯]內文:同餘

喺商數學入面,將整數mod 12{\displaystyle {\text{mod }}12}之後嗰個集就最多只有12{\displaystyle 12}嚿嘢,咁佢入面就會有一個加法,而對應喺音樂入面,五線譜嘅音符都有類似嘅加法。如果將整數mod 2{\displaystyle {\text{mod }}2},得出一個得兩嚿嘢嘅集,{0,1}{\displaystyle \{0,1\}},咁佢入面嘅加法就同邏輯代數入面嘅Exclusive or一樣。喺幾何學入面,兩個角度相加,就係一定係實數入面mod 2π{\displaystyle {\text{mod }}2\pi }入面嘅嘢。

日常加法[編輯]

喺基本嘅抽象代數入面,一個集入面嘅加法多數都係可溝通性同結合性。例子有:阿標群。

將集合併[編輯]將兩個集合埋。

加法可以將集合併,呢個都係加法入面最簡單嘅功能。

「當有兩個或以上咁多集要合併成一個,得出嗰一個集就會有之前咁多個集總和咁多樣剐。」

呢個句子好容易就可以用圖案嚟黎表示,就好似右手面張圖咁。兩個集,各自有3{\displaystyle 3}同2{\displaystyle 2}咁多嚿嘢,合併完之後個集就有5{\displaystyle 5}嚿嘢。但係用圖案表示有機會會出錯,所以去到高等數學,一個嚴謹定義加法嘅方法,可以推到好多好勁嘅數學結果出嚟,就好似上面嘅自然數定義。同時,有咗呢個定義,去推出分數或者負數嘅加法唔係一件容易嘅事。

原來係2{\displaystyle 2}咁長,而家伸展多4{\displaystyle 4}咁多,咁總共就有6{\displaystyle 6}咁長。伸展距離[編輯]

另一個加法嘅功能就係伸長個距離:

「當一條嘢俾人加長,咁佢個總長度就係原本咁多再加伸長咗咁多。」

用代數嘅角度睇,a+b{\displaystyle a+b}嘅和,喺二元運算入面就係將a{\displaystyle a}同b{\displaystyle b}合併埋一齊。用另一個角度睇,a+b{\displaystyle a+b}可以理解做加a{\displaystyle a}咁多嘢落b{\displaystyle b}嗰到。

睇埋[編輯]減乘除四則運算分數睇傾改四則運算   

Symbol support vote.svg加 (+)

Symbol oppose vote.svg減 (−)

Symbol multiplication vote.svg乘 (× 或 ·)

Symbol divide vote.svg除 (÷ 或 /)

睇傾改數學基礎課題數學常識數論數字加法減法乘法除法四則運算分數分數四則混算近似值倍數因數最小公倍數及最大公因數小數小數分數互化百分數百分數小數分數互化圖形與空間柱體錐體球體直線曲線圓形多邊形長方形正方形梯形菱形平行四邊形三角形角直角銳角鈍角方向東東南南西南西西北北東北平行垂直圖形拉砌與分割對稱頂棱面切面圓度量長度距離單位厘米米公里及英里毫米貨幣硬幣紙幣時間時分秒年月日星期上午下午24小時制重量克公斤升毫升周界圓周面積平方厘米平方米長方形正方形梯形菱形平行四邊形三角形體積立方厘米立方米長方體正方體容量速率數據處理象形圖方塊圖棒形圖平均數折線圖代數學代數學方程基本數學數同代數學有向數同數線數值估算近似同誤差有理數同無理數百分比同應用比率代數應用指數定律線性方程聯立方程恆等式公式不等式度量、圖形同空間估計面積體積幾何全等同相似直線嘅角三角形嘅角演繹幾何畢氏定理四邊形坐標同幾何三角比同應用數據處理統計學基本原則圖表集中趨勢概率嘅簡單概念導微積分基本方程概念線性方程二次方程分數方程不等式變數迴歸線性函數圖像函數函數移位組合函數單對單函數可逆函數多項式二次函數多項式多項式除法多項式嘅根虛根代數基本定理指數函數同對數指數函數指數定律對數對數定律指數對數方程三角比弧度三角比正弦函數餘弦函數正切函數正弦定理餘弦定理在實數入面嘅三角比函數標準圓定義嘅三角比正弦函數餘弦函數正切函數反正弦函數反餘弦函數反正切函數分析三角學三角比公式三角比之和同之差雙角公式半角公式積和公式同和積公式其他三角比公式向量,虛數面同極坐標向量點積虛數極三角比虛數四則運算極坐標極坐標幾何線性方程系統同線性編程線性方程系統矩陣分開分數幾何拋物綫橢圓雙曲線數列同數串直加數列倍加數列
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